拓扑学速通（吗？
标题是开玩笑的，速通不了一点。只是打算走马观花过一遍，留点印象。但是斯格明子确实大量涉及拓扑学知识，现在直接去看完全看不懂，于是找了本拓扑学讲义来看看。虽然没有考核要求，我也不可能速通完就掌握拓扑学，但起码需要有个基本概念吧。
大概了解有这么个东西，大概理解其概念，记住其出现的位置，想不起来时也好找。
320 页说是。不过作为教材，脉络还是相当清晰的。
疑惑
广义斯格明子和那篇文章大量使用了拓扑学的概念，斯格明子本身、斯格明子数、操作斯格明子数的同伦变换、还有边界条件，应该也全都是拓扑学的概念。
希望速通完，能对上述概念有个基本的了解。
序言
分为点集拓扑和代数拓扑，侧重于代数拓扑。点集拓扑有：
- 拓扑空间，连续映射
- 乘积空间，商空间，紧致性，连通性
代数拓扑有：
- 基本群、复叠空间、单纯同调群等
看目录是：
- 拓扑空间和连续性
- 重要拓扑性质
- 分离公理和可数公理
- 啥啥引理
- 紧致性
- 连通性
- 道路连通性
- 拓扑性质，同胚
- 商空间，闭曲面
- 拓扑流形
- 同伦，基本群
- 基本群与同伦
- 复叠空间
- 复叠变换
- 正则复叠空间
- 复叠空间存在定理
- 单纯同调群
- 单纯复合形
- 单纯复合形的同调群
- 单纯映射
- 重心重分，单纯逼近存在定理
- 连续映射诱导的同调群同态
- 同伦不变性
- 映射度，不动点
- 球面自映射的映射度
- 保径映射的映射度
值得关注的是：
- 基础概念：
- 拓扑空间，连续
- 拓扑性质
- 乘积空间，商空间，复叠空间
- 同伦相关
- 群论
- 同伦
- 拓扑流形与闭曲面
引言
什么是拓扑？
初印象感觉类似图论，只在乎边、点，不在乎具体是什么形状。
作为范例，有 Eular 多面体定理：对于面数 f，棱数 l，顶点数 v，有 $f-l+v=2$。可以推广到球面上一个连通图的节点数、枝数、分割球面构成的面块数，式子形式相同，说明 Eular 定理有拓扑性质。
对于环面，上述式子不成立，而是 $f-l+v=0$。
这个式子得到的数字被称为 Eular 数。
拓扑性质，与几何图形大小形状无关，而是整体结构上的性质。保持拓扑性质不变的变换称拓扑变换，变换前后的图形是同胚的，变化一一对应（不重叠，无新点），连续（不粘连，不撕裂）。、
映射的连续性是关键概念 。
拓扑变换，映射 f 类似于函数，X 到 Y 可以视作是点到点的变换。
笛卡尔积：理解为将 X 和 Y 分别作为坐标两轴，构成 (x, y) 坐标集合。
拓扑空间
不同于欧式空间和度量空间的新空间结构，衡量拓扑结构。
需要能够刻画连续性概念。
有非空集合 X。
定义：
$2^x$ 是 X 的幂集，其子集是 X 的子集族。X 的一个子集族被称为 X 的一个拓扑。如果这个拓扑：
- 包含 X 和空集
- 其任一多个成员的并集仍然包含在它中
- 其有限多个成员的交集仍然包含在它中
- 或者其中两个成员的交际仍在它中
于是 X 和它的这个拓扑一起，被称为一个拓扑空间，称这个拓扑中的成员为这个拓扑空间的开集。
一个集合可以规定不同的拓扑，但是可以用集合称呼一个拓扑空间。
$2^x$ 是 X 上的一个拓扑，被称为离散拓扑；X 和空集也是 X 上的拓扑，平凡拓扑。
精细：如果一个拓扑包含另一个拓扑，称其比另一个精细/大。离散拓扑最大，平凡拓扑最小。
余有限拓扑：无限集合 X 的有限大拓扑，再加上空集。
余可数拓扑：不可数无穷集合 X 的可数子集，再加上空集。
欧式拓扑：实数集 R 的若干个（可以为零，也可以为无限）开区间的并集。
度量拓扑
集合 X 上的一个度量 d 是一个映射 d：X×X->R，有
- 正定性：d (x, x)=0, d (x, y)>=0
- 对称性：d (x, y)=d (y, x)
- 三角不等式：d (x, z)<=d (x, y)+d (y, z)
如果集合 X 上规定了度量 d，称度量空间。
$R^n$ 上的度量，可以通过某种方式构成欧式距离，将 $E^n=(R^n,d)$ 即为n 维欧式空间。
如果 (X, d) 是一个度量空间，那么 X 有子集可以定义为球形邻域。两个球形邻域的交集可以被视作是若干个球形邻域的并集。
基本概念：
- 开集：
- 设 A 是度量空间 X 的一个子集。如果 A 中的每一个点都有一个以该点为中心的邻域包含于A，则称 A 是度量空间 X 中的一个开集。
- 类似于开区间
- 闭集：
- 是开集的余集。
- X 本身和空集都是闭集。
- 闭集的交集是闭集。
- 有限个闭集的并集是闭集。
- 领域、内点、内部：
- 有 A 是拓扑空间 X 的子集，x 属于 A，如果存在开集 U 包含于 A，x 属于 U，那么 x 是 A 的一个内点，A 是 x 的一个领域，A 所有内点的集合称 A 的内部。
- 聚点，闭包：
- 有 A 是拓扑空间 X 的子集，x 属于 X，如果 x 的每个邻域都含有 $A∖ {x}$ （意思是 A 去掉 x 之后剩下的所有元素，也就是 A 和 {x} 的差集），那么 x 是 A 的聚点，A 所有聚点的集合称导集，记作 A’，有 A 和 A’ 的并集是 A 的闭包。
- X 的子集 A 和 B 互为余集，那么 A 的闭包和 B 的内部互为余集。
- 如果 A 包含于 B，那么 A 的闭包包含于 B 的闭包。
- 序列的收敛性：
- 非常基本的一个概念
- 有序列 ${x_n}$，是 X 中的序列，有 $x_0$ 的任一领域 U 包含 ${x_n}$ 的几乎所有项，那么 ${x_n}$ 收敛到 $x_0$
- 序列 ${x_n}$ 可能收敛到多个点
都是相对概念。
子空间：
对于一个空间，有非空子集 A，A 的子集族是 A 上的一个拓扑，于是称为原拓扑导出的 A 上的子空间拓扑，称 A 和新拓扑组成原空间的子空间。
于是拓扑空间的自己都看作拓扑空间，即子空间。
连续映射
是局部性概念。对映射 f 从 X 到 Y 任一点连续，则 f 是连续映射。
同胚映射
同胚映射 = 拓扑变换
要求X 到 Y 是一一对应的，f 和逆 f 都是连续的。
注意 f 的逆连续这个条件不可忽视
乘积空间，拓扑基
有 $X_1$ 和 $X_2$，有 $j_i: X_1×X_2->X_i$ 为 $j_i(x_1,x_2)-x_i(i=1,2)$，有 $j_i$ 是 $X_1×X_2$ 到 $X_i$ 的投射。
有 $\tau$ 在 $X_1×X_2$ 上，$\tau$ 和 $\tau_1,\tau_2$ 密切相关，令 $j_1,j_2$ 都连续，且是满足要求的最小拓扑。
乘积拓扑：$\tau$ 是 $X_1×X_2$ 上的乘积拓扑
乘积空间：乘积拓扑与 $X_1×X_2$ 组成的空间
乘积拓扑理解为在笛卡尔积 $X_1×X_2$ 上的一个拓扑，这个拓扑满足令两个空间上的投射都连续。
- 对于两个拓扑空间的乘积，乘积拓扑的基是 “两个开集的笛卡尔积”，形式简单直观
- 对于无限个拓扑空间的乘积，乘积拓扑需要限制 “基本开集仅有限个坐标是真开集”，以此保证拓扑的良好性质（如连续性、紧致性）
子集族：该拓扑的闭包
拓扑基：集合 X 的子集族。
拓扑的重要性质
- 分离性
- 可数性
- 紧致性
- 连通性